📈 深入理解均值回歸的核心原理

要搞懂均值回歸，我們可以先從它的反面——「隨機漫步」（Random Walk）開始理解。想像一下，一個喝醉的人在廣場上行走，他下一步要往哪走完全無法預測，這就是隨機漫步。許多理論認為，效率市場中的股票價格就類似於隨機漫步，過去的價格對未來沒有任何預測能力。

然而，均值回歸理論提出了不同的看法。它認為資產價格，或者某些資產組合的價格，雖然短期會隨機波動，但長期來看，會傾向於回歸到一個歷史平均值或均衡水平。這就像一隻被主人用繩子牽著的狗，雖然牠會四處亂跑，但活動範圍始終被繩子的長度限制，最終還是會回到主人身邊。在這個比喻中：

• 主人：代表資產的長期均衡價值（均值）。
• 小狗：代表資產的實時價格。
• 繩子：代表將價格拉回均值的市場力量。

當價格（小狗）因為市場情緒、短期供需失衡等因素而過度遠離其均值（主人）時，一個交易機會就可能出現。交易者可以預期「繩子」的拉力會生效，在價格遠高於均值時賣出（放空），在價格遠低於均值時買入（做多），等待價格回歸正常水平來獲利。這就是均值回歸策略的精髓。

時間序列的「定常性」：判斷均值回歸的數學基礎

在時間序列分析中，一個序列的統計特性（如均值、變異數）如果不會隨著時間改變，我們就稱之為具有定常性 (Stationarity)。一個具有定常性的時間序列，本質上就具備了均值回歸的特性。它會在一個固定的平均值上下波動，但不會無限地偏離。

我們可以透過「自回歸過程」（Autoregressive process, AR(1)）來更數學化地理解這一點。一個簡單的 AR(1) 模型可以表示為：

X(t) = φ * X(t-1) + ε(t)

其中，X(t) 是時間點 t 的數值，X(t-1) 是前一個時間點的數值，ε(t) 是白噪音（隨機干擾項），而 φ 是一個關鍵係數。

• ✔️ 當 |φ| < 1 時：序列是定常的，具有均值回歸特性。過去的衝擊會逐漸消散，序列會回到均值 0。
• ❌ 當 φ = 1 時：序列被稱為「單位根過程」(Unit Root Process)，也就是我們前面提到的隨機漫步。過去的衝擊會永久地影響序列，它沒有回歸到均值的傾向。
• ⚠️ 當 |φ| > 1 時：序列是發散的，會呈爆炸性增長或衰退，這在金融市場中較為罕見。

因此，要判斷一個金融資產是否適用均值回歸策略，一個核心步驟就是檢驗其價格序列是否具有「定常性」，或者說，是否拒絕「單位根」的存在。

🔍 如何用統計學驗證均值回歸策略的可行性？

單純觀察價格圖表來判斷是否「跌深」或「漲多」是非常主觀且危險的。量化交易的優勢在於使用客觀的統計方法來驗證策略的有效性。在均值回歸的領域，我們有專門的工具來檢測一個時間序列是否真的具備回歸特性。

單一資產的檢驗：ADF 檢定 (Augmented Dickey-Fuller Test)

大部分單一的金融資產（如單支股票、單一貨幣對）的價格序列通常都是非定常的，更接近於隨機漫步。直接對其應用均值回歸策略，很容易在趨勢行情中慘遭滑鐵盧。不過，我們仍然需要一個方法來客觀地進行檢驗，這就是 ADF 檢定 的用途。

以下是使用 Python 的 `statsmodels` 函式庫對 2022 年某段時間的 USD/JPY 匯率進行 ADF 檢定的範例：

import yfinance as yf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 獲取USD/JPY的數據
pair = 'JPY=X'
data = yf.download(pair, start='2022-04-01', end='2022-09-01')
usd_jpy_data = data['Close']

# ADF檢定
adf_test_result = adfuller(usd_jpy_data)

# 顯示結果
print(f'ADF Statistic: {adf_test_result[0]}')
print(f'p-value: {adf_test_result[1]}')
print('Critical Values:')
for key, value in adf_test_result[4].items():
    print(f'\t{key}: {value:.3f}')

執行後，我們可能會得到如下結果：

ADF Statistic: -1.536
p-value: 0.515
Critical Values:
	1%: -3.496
	5%: -2.890
	10%: -2.582

這裡的 p-value (0.515) 遠大於 0.05，因此我們無法拒絕虛無假設。這意味著在這段期間內，USD/JPY 的價格序列更像是隨機漫步，直接對其進行均值回歸交易風險極高。

尋找交易夥伴：共整合與配對交易 (Pairs Trading)

既然單一資產很難找到均值回歸的特性，那麼，我們是否可以自己「創造」一個呢？答案是肯定的，這就是配對交易 (Pairs Trading) 的核心思想，而其背後的統計學原理就是共整合 (Cointegration)。

這就為統計套利提供了絕佳的機會。常見的配對組合包括：

• 同產業的競爭對手：例如台積電 vs 聯電，可口可樂 vs 百事可樂。
• 不同級別的公司債：例如 AAA 級公司債 vs A 級公司債。
• 具有相似經濟驅動因素的貨幣對：例如澳幣/日圓 (AUD/JPY) vs 加幣/日圓 (CAD/JPY)，因為澳洲和加拿大都是大宗商品出口國。

要檢驗兩個序列是否存在共整合關係，我們可以使用共整合 ADF 檢定（又稱 Engle-Granger 檢定）。其步驟是：

1. 對兩個資產的價格序列進行線性迴歸，得到殘差序列（也就是它們的價差）。
2. 對這個殘差序列進行 ADF 檢定。
3. 如果殘差序列是定常的（p-value < 0.05），我們就認為這兩個資產存在共整合關係。

🛠️ 實戰操作：如何執行一筆均值回歸配對交易？

當我們透過共整合檢定找到一對「天作之合」的交易標的後，接下來就是如何執行交易。核心在於監控它們之間那個具有均值回歸特性的「價差」(Spread)。

判斷進出場時機：Z-Score 與布林通道

這個價差序列雖然是定常的，但我們需要一個標準化的指標來判斷它何時「過度」偏離了均值。這時，Z-Score 就派上用場了。

Z-Score = (當前價差 – 價差的移動平均) / 價差的移動標準差

Z-Score 告訴我們，當前的價差偏離其平均值多少個標準差。一個常見的交易規則是：

• 📈 當 Z-Score > 2.0 (或 1.5)：表示價差過度擴大。此時應賣出（放空）被高估的資產，同時買入（做多）被低估的資產。
• 📉 當 Z-Score < -2.0 (或 -1.5)：表示價差過度縮小（甚至反轉）。此時應買入（做多）被低估的資產，同時賣出（放空）被高估的資產。
• 🎯 當 Z-Score 回歸到 0 附近：表示價差回到均值，此時應平倉所有部位，獲利了結。

這個概念其實與技術分析中的布林通道 (Bollinger Bands) 非常相似。布林通道本身就是由一個移動平均線和上下各兩條標準差線組成的。將布林通道應用在具有定常性的價差序列上，當價差觸及上軌時做空價差，觸及下軌時做多價差，就是一個非常直觀的均值回歸交易系統。

⚖️ 均值回歸策略的優點與潛在風險

任何交易策略都有其兩面性，理解其優缺點是成功應用的前提。均值回歸策略與其主要對手——趨勢跟蹤策略（Momentum Strategy）有著截然不同的特性。

特性	✅ 均值回歸策略 (Mean Reversion)	❌ 趨勢跟蹤策略 (Momentum)
核心哲學	價格終將回歸均衡價值	強者恆強，弱者恆弱
適用市場	盤整、震盪市場	趨勢明顯的市場
交易勝率	通常較高（賺取多次小額利潤）	通常較低（虧損多次小額，賺取少次大額）
盈虧比	通常較低（利潤有限，潛在虧損大）	通常較高（潛在利潤無限，虧損可控）
最大風險	結構性斷裂 (Structural Break)，即原有的共整合關係永久失效，價差持續擴大，導致巨大虧損。	趨勢反轉，被市場來回洗刷（Whipsaw）。

均值回歸策略最大的夢魘就是「結構性斷裂」。例如，一家公司發生了根本性的變化（如被收購、重大醜聞、技術被顛覆），導致它與其配對夥伴的經濟關係徹底改變。這時，價差可能不會回歸，而是走出一個新的趨勢，如果交易者沒有及時設置停損，將面臨毀滅性打擊。

🚀 進階應用：多變量配對與機器學習

配對交易的世界遠不止兩個資產。在現實中，一個資產的價格可能由一籃子其他資產共同決定。例如，新台幣的匯率不僅受美元影響，還可能受到日圓、人民幣、台股指數等多重因素的影響。

多變量共整合：Johansen 檢定

當我們想分析三個或更多變量之間的共整合關係時，Engle-Granger 檢定就不再適用。這時，我們需要更強大的工具——Johansen 檢定。它能夠在一個系統中同時檢測多個共整合關係的存在。這使得構建更複雜、更穩健的「一籃子」統計套利策略成為可能。例如，你可以做多一籃子貨幣（如 AUD, CAD），同時做空另一種貨幣（如 JPY），只要這一籃子的組合價差是定常的。

機器學習的賦能

近年來，機器學習技術為傳統的統計套利注入了新的活力。學者和交易員們開始利用機器學習來：

• 尋找配對： 使用如聚類分析 (Clustering) 等非監督式學習方法，從數千種資產中自動尋找具有潛在共整合關係的組合。
• 優化時機： 應用如 Ornstein-Uhlenbeck 過程 結合最佳停止理論，來更精確地計算進場與出場的時機點，最大化期望收益。
• 動態調整： 建立可以預測共整合關係強度或持續時間的模型，當模型顯示關係可能減弱時，及时發出警報，以應對結構性斷裂風險。相關研究可參考 Kitapbayev & Leung (2017) 的論文。

🧐 結論：均值回歸是一門科學，也是一門藝術

總結來說，什麼是均值回歸策略？它是一種基於統計學的量化交易方法，核心信念是資產價格的極端波動是暫時的，最終會回歸到其歷史常態。透過統計套利、配對交易等技巧，交易者可以在市場的非理性波動中尋找相對確定的獲利機會。

然而，成功應用均值回歸策略絕非易事。它需要交易者具備扎實的統計學知識，能夠熟練運用 ADF 檢定、共整合分析等工具，並且對市場有深刻的理解，才能辨別出哪些是真正的均值回歸機會，哪些是可能導致災難的結構性斷裂。最重要的是，嚴格的風險控管，特別是停損機制的設立，是保障策略長期穩定運行的生命線。它不是一個無腦的「高賣低買」遊戲，而是一場結合數據、機率與紀律的精密博弈。

*本文內容僅代表作者個人觀點，僅供參考，不構成任何專業建議。